Curbură constantă

În matematică curbura constantă este un concept din geometria diferențială. Aici, curbura se referă la curbura secțională a unui spațiu (mai exact, a unei varietăți) și determină geometria locală a acesteia printr-un singur număr. Se spune că curbura secțională este constantă dacă are aceeași valoare în fiecare punct și pentru fiecare plan tangent bidimensional în acel punct. De exemplu, o sferă este o suprafață cu curbură pozitivă constantă.

Clasificare

O varietate riemaniană^⁠(d) cu curbură constantă poate fi clasificată în următoarele trei cazuri:^[1]

geometrie eliptică – cu curbură secțională constantă pozitivă, exemplul tipic fiind sfera,
geometrie euclidiană – cu curbură secțională constantă nulă, exemplul tipic fiind planul,
geometrie hiperbolică – cu curbură secțională constantă negativă, exemplul tipic fiind pseudosfera.

Proprietăți

Orice spațiu de curbură constantă este local simetric^⁠(d), adică tensorul de curbură este paralel $\nabla \mathrm {R} =0$ .
Orice spațiu de curbură constantă este local maximum de simetric, adică are un număr de ${\frac {1}{2}}n(n+1)$ izometrii locale^⁠(d), unde $n$ este dimensiunea spațiului.
Invers, există o afirmație similară, dar mai puternică: orice spațiu maximum de simetric, adică un spațiu care are ${\frac {1}{2}}n(n+1)$ izometrii (globale), are curbură constantă.
(Teorema Killing–Hopf) acoperirea universală a unei varietăți cu curbură secțională constantă este unul dintre modelele de spațiu:
- sferă (curbură secțională pozitivă),^[1]
- plan^⁠(d) (curbura secțională zero),^[1]
- varietate hiperbolică (curbură secțională negativă),^[1]
Un spațiu de curbură constantă care este geodezic complet se numește formă spațială^[2], iar studiul formelor spațiale este strâns legat de cristalografia generalizată.
Două forme spațiale sunt izomorfe dacă și numai dacă au aceeași dimensiune, metricile lor au aceeași semnătură, iar curburile lor secționale sunt egale.

Note

^ ^a ^b ^c ^d Mihai Anastasiei, Capitolul 5: Clase remarcabile de suprafețe (curs, pp. 117–118), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25
^ Raportare științifică, p. 2, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25

Bibliografie

en Moritz Epple (2003) From Quaternions to Cosmology: Spaces of Constant Curvature ca. 1873 — 1925, invited address to International Congress of Mathematicians
en Frederick S. Woods (1901). „Space of constant curvature”. The Annals of Mathematics. 3 (1/4): 71–112. doi:10.2307/1967636. JSTOR 1967636.

Portal Matematică

[MA-1] Mihai Anastasiei, Capitolul 5: Clase remarcabile de suprafețe (curs, pp. 117–118), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25

[2] Raportare științifică, p. 2, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25

[1]

[2]